Các thước đo thống kê mô tả dữ liệu
- Thước đo xu hướng trung tâm
Đối với dữ liệu định danh: Mode (Yếu vị)
Là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong một tập dữ liệu. Nó hữu ích khi dữ liệu có số lượng lớn, không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai và có thể áp dụng cho cả dữ liệu định danh, dữ liệu thứ bậc và dữ liệu số lượng. Tuy nhiên, một tập dữ liệu có thể không có mode hoặc có nhiều mode.
Đối với dữ liệu thứ bậc: Median (Trung vị) và Quantile (Phân vị)
Trung vị: Là giá trị nằm ở giữa tập dữ liệu đã sắp xếp. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai, chủ yếu được sử dụng cho dữ liệu thứ bậc và dữ liệu số lượng, nhưng không áp dụng cho dữ liệu định danh.
Phân vị: Là các giá trị nằm ở vị trí 25% và 75% của tập dữ liệu đã sắp xếp. Tương tự trung vị, phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai.
Đối với dữ liệu số lượng: Mean (Trung bình cộng)
Trung bình cộng, còn được gọi là kỳ vọng, là thước đo phổ biến nhất cho xu hướng trung tâm, thể hiện điểm cân bằng của dữ liệu và đặc trưng tất yếu của dữ liệu. Tuy nhiên, nó dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai. Có hai loại trung bình cộng: trung bình cộng đơn giản và trung bình cộng có trọng số. Trung bình cộng tính từ toàn bộ quần thể được ký hiệu là μ, còn trung bình cộng tính từ mẫu được ký hiệu là x̄.
- Thước đo độ phân tán
Độ phân tán là một đặc trưng quan trọng khác của sự phân bố dữ liệu, phản ánh mức độ xa rời của các giá trị so với giá trị trung tâm. Nó cho biết mức độ đại diện của các thước đo xu hướng trung tâm. Các loại dữ liệu khác nhau sẽ có các thước đo độ phân tán khác nhau.
Đối với dữ liệu định danh: Tỷ lệ khác mode (Other-than-mode ratio)
Đo lường độ phân tán cho dữ liệu định danh. Tỷ lệ này là tần số của các nhóm không phải mode chia cho tổng tần số.
Đối với dữ liệu thứ bậc: Khoảng tứ phân vị (Interquartile range - IQR)
Đo lường độ phân tán cho dữ liệu thứ bậc. IQR là hiệu số giữa tứ phân vị trên (Q3) và tứ phân vị dưới (Q1), tức là Qd = Q3 – Q1. Nó phản ánh độ phân tán của 50% dữ liệu ở giữa, không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai và dùng để đo lường tính đại diện của trung vị.
Đối với dữ liệu số lượng: Phương sai và Độ lệch chuẩn
Đây là các thước đo độ phân tán phổ biến nhất, phản ánh sự sai khác trung bình của các giá trị so với giá trị trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn của quần thể được ký hiệu là σ² và σ, còn của mẫu là s² và s.
Bậc tự do (Degrees of freedom - df)
Bậc tự do là sự khác biệt giữa số lượng quan sát và số lượng ràng buộc hoặc giới hạn được áp dụng cho các quan sát độc lập. Về mặt ngữ nghĩa, nó chỉ số lượng giá trị có thể thay đổi tự do trong một tập dữ liệu. Khi số lượng mẫu là n và giá trị trung bình mẫu x̄ đã được xác định, có n-1 giá trị có thể thay đổi tự do. Nếu có k ràng buộc, bậc tự do sẽ là n-k.
# Ví dụ về bậc tự do:
# 1. Nếu có 3 giá trị mẫu: x1=2, x2=4, x3=9. Trung bình mẫu x̄ = 5.
# Sau khi x̄ = 5 được xác định, có 2 giá trị có thể thay đổi tự do.
# Ví dụ, nếu x1=6, x2=7, thì x3 bắt buộc phải là 2.
# 2. Tại sao bậc tự do của phương sai mẫu là n-1?
# Vì khi tính tổng bình phương sai lệch, ta phải tính trung bình mẫu x̄,
# và x̄ là một ràng buộc được áp dụng. Do đó, chỉ có n-1 giá trị độc lập.
# 3. Phương sai mẫu chia cho bậc tự do (n-1) là ước lượng không chệch (unbiased estimator)
# cho phương sai quần thể σ² khi thực hiện ước lượng trong mẫu.
Điểm Z (Standard score)
Còn gọi là giá trị chuẩn hóa, đo lường vị trí tương đối của một giá trị trong tập dữ liệu. Điểm Z có thể dùng để xác định các điểm ngoại lai và chuẩn hóa biến số.
Quy tắc thực nghiệm (Áp dụng cho phân phối đối xứng)
Khoảng 68% dữ liệu nằm trong phạm vi ±1 độ lệch chuẩn so với trung bình. Khoảng 95% dữ liệu nằm trong phạm vi ±2 độ lệch chuẩn so với trung bình. Khoảng 99% dữ liệu nằm trong phạm vi ±3 độ lệch chuẩn so với trung bình.
Bất đẳng thức Chebyshev
Bất đẳng thức Chebyshev áp dụng cho mọi hình dạng phân phối dữ liệu, cung cấp một "giới hạn dưới" về tỷ lệ dữ liệu. Theo bất đẳng thức Chebyshev, ít nhất 1 - 1/k² dữ liệu nằm trong phạm vi ±k độ lệch chuẩn so với trung bình, với k > 1.
# Ví dụ với k=2, 3, 4:
# - Ít nhất 75% dữ liệu nằm trong phạm vi ±2 độ lệch chuẩn.
# - Ít nhất 89% dữ liệu nằm trong phạm vi ±3 độ lệch chuẩn.
# - Ít nhất 94% dữ liệu nằm trong phạm vi ±4 độ lệch chuẩn.
Độ phân tán tương đối: Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation - CV)
Là tỷ lệ giữa độ lệch chuẩn và trung bình cộng tương ứng. Hệ số biến thiên đo lường độ phân tán tương đối, loại bỏ ảnh hưởng của quy mô dữ liệu và đơn vị đo lường, cho phép so sánh độ phân tán giữa các nhóm dữ liệu khác nhau.