Bài 1: Máy bay và kỳ vọng

Đề bài yêu cầu tính kỳ vọng số bước đi để kết thúc trò chơi. Dùng quy hoạch động với hàm f[i] là kỳ vọng từ ô thứ i đến đích. Tuy nhiên, có vấn đề ở 6 ô cuối do ảnh hưởng ngược (hiệu ứng lặp). Giải pháp là xây dựng hệ phương trình tuyến tính cho 5 ô cuối và giải bằng phương pháp Gauss.

Công thức kỳ vọng để bắt đầu:

x = p6 + (1 - p6)(x + 1) => x = 1 / p6

Khi p6 == 0, bài toán vô nghiệm. Phải kiểm tra trước khi thực hiện.

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>

double p[9], f[59], a[7][7];

void gaussianElimination() {
    for (int i = 1; i <= 5; i++) {
        for (int j = 1; j <= 6; j++) a[i][j] = 0;
    }
    for (int i = 1; i <= 5; i++) {
        for (int j = 1; j <= 6; j++) {
            int k = i + j;
            if (k == 6) continue;
            if (k > 6) k = 12 - k;
            a[i][k] += p[j];
        }
        a[i][i] -= 1, a[i][6] = -1;
    }

    for (int i = 1; i <= 5; i++) {
        for (int j = i; j <= 5; j++)
            if (a[i][j] != 0) {
                for (int k = 1; k <= 6; k++) std::swap(a[i][k], a[j][k]);
                break;
            }
        double factor = a[i][i];
        for (int j = i; j <= 6; j++) a[i][j] /= factor;

        for (int j = 1; j <= 5; j++) {
            if (i != j) {
                double ratio = a[j][i];
                for (int k = i; k <= 6; k++) a[j][k] -= ratio * a[i][k];
            }
        }
    }
}

int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        for (int i = 1; i <= 6; i++) scanf("%lf", &p[i]);
        if (p[6] == 0 || p[3] + p[6] == 1) {
            printf("T_T\n");
            continue;
        }
        gaussianElimination();
        for (int i = 0; i <= 56; i++) f[i] = 0;
        for (int i = 1; i <= 5; i++) f[50 + i] = a[i][6];
        for (int i = 50; i >= 0; i--) {
            for (int j = 1; j <= 6; j++) {
                int k = i + j;
                if (k == 18) k = 30;
                if (k % 4 == 2 && k <= 46) k += 4;
                if (k == 18) k = 30;
                f[i] += p[j] * (f[k] + 1);
            }
        }
        printf("%.8lf\n", f[0] + 1 / p[6]);
    }
}

Bài 2: Vương quốc núi cao - Tra cứu dư số

Yêu cầu: Với mỗi truy vấn, tìm giá trị lớn nhất của a[i] % p trong đoạn [l, r].

Chia làm 2 trường hợp:

• p nhỏ: Dùng nhiều cây phân đoạn (segment tree) để truy vấn max theo từng giá trị p.
• p lớn: Dùng cây phân đoạn chủ tịch (persistent segment tree) để tìm giá trị lớn nhất trong các khoảng [k, k+p-1].

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>

const int N = 1e6 + 5;
int n, q, threshold = 32, a[N], roots[N];

void read(int &x) {
    x = 0;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
}

struct SegmentTree {
    short tree[N * 4];
    void build(int p, int l, int r, int mod) {
        if (l == r) {
            tree[p] = a[l] % mod;
            return;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        build(p << 1, l, mid, mod);
        build(p << 1 | 1, mid + 1, r, mod);
        tree[p] = std::max(tree[p << 1], tree[p << 1 | 1]);
    }
    int query(int p, int l, int r, int x, int y) {
        if (x <= l && r <= y) return tree[p];
        int mid = (l + r) >> 1, res = 0;
        if (x <= mid) res = query(p << 1, l, mid, x, y);
        if (y > mid) res = std::max(res, query(p << 1 | 1, mid + 1, r, x, y));
        return res;
    }
} T[31];

struct PersistentTree {
    int size, sum[N * 13], left[N * 13], right[N * 13];
    void insert(int &p, int pre, int l, int r, int val) {
        sum[++size] = sum[pre] + 1;
        left[size] = left[pre];
        right[size] = right[pre];
        if (l == r) return;
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (val <= mid)
            insert(left[size], left[pre], l, mid, val);
        else
            insert(right[size], right[pre], mid + 1, r, val);
    }
    int query(int p, int pre, int l, int r, int val) {
        if (sum[p] - sum[pre] == 0) return -1;
        if (l == r) return l;
        int mid = (l + r) >> 1, res = -1;
        if (val > mid && (res = query(right[p], right[pre], mid + 1, r, val)) != -1)
            return res;
        return query(left[p], left[pre], l, mid, val);
    }
} C;

int main() {
    read(n), read(q);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        read(a[i]);
        C.insert(roots[i], roots[i - 1], 0, 1000, a[i]);
    }
    for (int j = 2; j < threshold; j++) {
        T[j - 2].build(1, 1, n, j);
    }
    int p, l, r, ans;
    while (q--) {
        read(l), read(r), read(p);
        l++, r++;
        if (p < 2) {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        if (p < threshold)
            printf("%d\n", T[p - 2].query(1, 1, n, l, r));
        else {
            ans = 0;
            for (int k = 0; k <= 1000; k += p) {
                int upper = std::min(k + p - 1, 1000);
                int val = C.query(roots[r], roots[l - 1], 0, 1000, upper);
                if (val != -1) ans = std::max(ans, val - k);
            }
            printf("%d\n", ans);
        }
    }
}